紛らわしく試験にも出やすい2表現の区別です。
先日取り上げたmake the most ofとmake the best ofはなんだかんだ言って意味に大差はないわけですが，今回は真逆に近い意味なので要注意です。
in no time「すぐに，まもなく」(soon, before long)
at no time「いかなる時においても……ない」「決して……ない」
「まもなく……だ」と「決して……ない」ですから意味が真逆に近いですね。どうしてこうなったのか，説明します。
（１）in no time は所要時間の in
in は所要時間を表せます。特に「今から……が経てば」の in は重要です。
I'll come back [I'll be back] in an hour.「1時間したら戻ってきます」
この所要時間が no time「ゼロの時間」なので，in no time は「所要時間ゼロで」つまり「すぐに」です。
（２）at no time は時点の at
at は時点・時刻を表せます。at three o'clock / at 10:30 / at noon などです。これが no time「ない時」なので，「3時でもなく，正午でもなく，どんな時点・時刻においてもない」から，「決して……ない」わけです。
なおこの at no time が文頭に立つと，（疑問文型の）倒置を引き起こします。
At no time are you allowed to leave.「いかなる時においても離れてはならない」
at no time に限らず，
Under no circumstances are you allowed to leave.「いかなる状況においても離れてはならない」
On no condition are you allowed to leave.「いかなる条件の下でも離れてはならない」
Never (ever) are you allowed to leave.「決して離れてはならない」（never ever は never の強調）
「状況」「条件」とかいちいち訳し方を変えましたが，全て「決して」でOKです。
なお only の付く語句も，「……だけ」=「……しかない」と「ない」を含むため否定に準じ，文頭に立つと
Only yesterday did I realize...「昨日になって初めて……を実感した」と倒置になります。
次回はこの「否定語文頭倒置」に関連し，no sooner ... than 〜とその仲間たちを徹底解説したいと思います。
↓書きました。