make the most of... もmake the best of... も「…を最大限に利用する」という意味がありますが，
make the most of...「有利な条件を最大限に活用する」
make the best of...「不利な条件を何とか活かす，乗り切る」
というニュアンスの差があり区別が面倒です。mostもbestも別に悪い意味ではないから区別しにくいわけです。
しかし，bestが悪い意味ではないというのが区別への鍵です。
mostは割合を表します。bestは「良い」の意を含みます。よって，
make the most of...「有利な条件だから，できるだけ100%に近い形で利用する」「有利な条件だから，できるだけ大部分を利用する」
せっかく好条件なのに3割しか活用できなかったらもったいないわけです。だから割合のmostを使います。
make the best of...「不利な条件だから，できるだけ良い形で利用する」
悪いからこそ，できるだけ良い方向に持っていきたい。だからbestなわけです。
一般的に比較級・最上級は絶対的にそうだとは限らず，むしろ絶対的にはそうではないこともあります。身長90cm，95cm，100cmの3人の子どもの中では，100cmの子どもがthe tallestです。しかし彼はtallではないでしょう。
ところでこの2表現は，
make A of B「BからAを作る，Bを元にAを作る」→「BをAにする」と関係がありそうですね。make a fool of Bは「Bを元に馬鹿者を作る」→「Bを馬鹿にする」です。
make the best of Bは，Bという悪い条件を元に，その中でも最高の物(the best)を作り出す，といったイメージと思われます。
mostに触れたので，次回はこれに関連した話をしたいと思います。
↓書きました。
