（１）no sooner than
まずはただの sooner than 〜 から。
He had finished sooner than I did.「私が終えるよりも早く彼は終えていた」
比較の差は by 〜 のほか，比較級の直前に置くこともできるので
He had finished a minute sooner than I did.「私が終えるよりも１分早く彼は終えていた」
この差を表す部分を no（ゼロ）にすると
He had finished no sooner than I did.「彼が終えたのは私が終えたよりも１秒も早くなかった」
この否定語 no sooner を，前回記事の at no time のように文頭に回すと倒置が生じ，
No sooner had he finished than I did.「彼が終えるやいなや私も終えた」
となります。
理屈が分かったら，結果だけを覚えてしまいましょう。
No sooner had S Vpp than S' V'.「SVするやいなやS'V'」です。
下線部分は「had S 過去分詞」とか「過去完了かつ倒置」と言うことができますが，私は「ハド・エス・ピーピー」と覚えていました。がそれよりも，日本語と英語で訳す順番が同じになることも忘れてはいけません。日本語と英語で訳す順番が同じになるのは他にも
It is not until ... that 〜「……になって初めて〜する」
not so much A as B「AというよりもむしろB」
などがありますが，これらもいずれ解説したいと思います。
（２）hardly [scarcely] ... when [before] 〜
hardly の代わりに scarcely，when の代わりに before を使ってもよく，組み合わせは自由です（4通りできる）
hardly, scarcely は「ほとんど……ない」という意味で程度に使います。
頻度に使いたければ hardly ever
数量に使いたければ hardly any
としなければなりません。
I had hardly left home when it began to rain.「雨が降り出した時，私はほとんど家を出ていなかった」→「家を出るか出ないかのうちに雨が降り出した」→「家を出るやいなや雨が降り出した」
この hardly を文頭に出せば，やはり倒置が生じ，
Hardly had I left home when it began to rain.「家を出るやいなや雨が降り出した」
結果だけを書くと，
Hardly had S Vpp when S' V'.「SVするやいなやS'V'」
ポイントは (1) no sooner than と全く同じ構造で，no sooner が hardly に，than が when に代わるだけです。だから (1) さえ覚えれば，no sooner＋than の組み合わせの他に，hardly＋when，hardly＋before，scarcely＋when，scarcely＋before の4つの組み合わせが加わるだけです。
引っ掛け問題対策として気をつけてほしいのは，had I のような倒置になるのは，hardly のような否定語が文頭に立つときだけです。
He said that he had hardly left home・・・正しい
He said that had he hardly left home・・・誤り
He said that hardly had he left home・・・正しい
です。 文頭と言っても，節の頭であれば良いことが分かりますね。
（３）no sooner ... than や hardly ... when は読解対策，テスト対策として必要なだけで，自分が言うときは以下で十分です。
As soon as I left home, it began to rain.「家を出るやいなや雨が降り出した」
The instant (that) I left home, it began to rain.「家を出た瞬間，雨が降り出した」
The moment (that) I left home, it began to rain.「同上」
The minute (that) I left home, it began to rain.「同上」
as soon as は中高で習う有名な表現ですね。記憶があやふやですが，紡木たくの『瞬きもせず』で紺野君が主人公にこっそりこれの意味を教えるシーンが印象的でした笑
as soon as よりも The instant 等の方がくだけた表現です。日本語と比較するのは不適切なこともありますが，日本語でも「起きるやいなや」より「起きた瞬間」の方がくだけています。
なお（３）の場合は両方過去形でよく，過去完了にする必要はありません。
（４）最後に，
on Ving でも「Vするやいなや」の意味になります。堅いので特に使う必要はない表現ですが，on の「接触」の意味から来ています。動名詞 (Ving) だからではなく on だからこの意味になります。
on demand「需要に応じて」, on request「要求に応じて」も，需要・要求を受けて行動を始めるので，時間的に「繋がっている」というイメージです。この on のイメージの話は，いずれやりたいと思います。
なお「否定語文頭倒置」に関してはこちらの（２）でも解説しています。
