disposeはまとめ甲斐のある単語です。大きく分けて２系統の意味があります。
まず成り立ちとしてdis（離して）＋pose（置く）であることを確認します。disには否定の意味もあるのですが「離れて」の意味もあります。distance「距離」のdisですね。「離す」ということは「拒否する」ことでもあり，「拒否」とはある意味「否定」ですから繋がっているのでしょう。
（１）（「離して置く」→）「処分する」
dispose of N「Nを処分する」は重要です。ゴミとして廃棄するの意味にも，要らないものを売却するの意味にもなります。またdo away with Nと同様「殺す」の隠語でもあります。「あいつは俺が片付ける」と言えば意味は分かりますね。
この名詞形はdisposal「処分」です。at one's disposalは「oneが自由に使えて（処分できて）」という意味です。
This is at your disposal. と言えば，「これはあなたが自由に使って（処分して）良いものです」の意味です。また，
I am at your disposal. と言えば，「私をご自由にお使い下さい（何なりとお命じ下さい）」という意味です。ドラゴンエイジ：インクイジションでは (I'm) at your service.「何なりとお命じ下さい」という台詞を聞きました。
形容詞形としてdisposable「使い捨ての，処分できる」があります。disposable mask [cup] は「使い捨てマスク［コップ］」，disposable incomeは「可処分所得」です。
（２）（「離して置く」→）「配置する」
disposeのもう１つの重要な意味は「配置する」です。特に重要なのが「配置する」が心の配置に拡張され，be disposed to-Vで「Vしたい気持ちである」「Vする気質である」です。
dispositionは「配置」→「気質，性格」「処分（=disposal）」です。
ということでdispose形の単語は「処分」「（配置→）気質」というキーワードで覚えておきましょう。
