結論から言うと，
/dʒ/ は/tʃ/ の有声音化（濁音化）
/ʒ/ は /ʃ/ の有声音化（濁音化）
です。実践してみましょう。
churchの「チ」/tʃ/ を静かに出してみて下さい。ささやくような「チ」です。そこから声を出して「濁らせて」いって下さい。「チッチッチッチッ……ヂー」となる音が/dʒ/です。「じめん」「じっと」とかいうときの「じ」が近いと思います。
次に，sheやshadowの「シ」/ʃ/ を静かに出してみて下さい。子どもに「シーッ」っていう時の「シ」が近いと思います。そこから声を出して「濁らせて」いって下さい。「シーッシーッ……ジ（ュ）ー」となる音が/ʒ/です。フランス語の「ジュテーム」みたいな柔らかい感じの「ジ（ュ）」です。
自分でやってみると，柔らかいの/ʒ/ときは舌が口の中でどこにも触れずに浮いており，/dʒ/の時は舌が上がって口の中の天井に触れるか接近すると思います。というより/tʃ/と言おうとしたら舌は上がりますよね。それを濁らせるわけです。
次に，どういう場合にどちらになるかですが，英語では語頭では/dʒ/が基本です。例外にgenre/ʒɑ́(ː)nrə/がありますが，フランス語からの外来語です。
外来語を除けば，本当に語頭では/dʒ/が多いのでしょうか？ 幾つか見てみましょう。
July /dʒuláɪ/
judge /dʒʌdʒ/
giant /dʒá(ɪ)ənt/
John /（米）dʒɑ(ː)n（英）dʒɔn/
語頭では/dʒ/ですね。genderでも，Gemini「双子座」でも，junk「ガラクタ；ヤク」でも，何でも引いてみて下さい。外来語を除き語頭は/dʒ/のはずです。
これに対し語頭以外では難しいですね。measureは/mé(ɪ)ʒər/ですから/ʒ/です。しかしmajorは/méɪdʒər/だから/dʒ/です！ 上のjudge/dʒʌdʒ/は/dʒ/ですね。bridgeも/dʒ/です。もしかしたら“-dge”は/dʒ/一択かもしれませんね。
英語によく見られる「……ジョン」は，
pigeon「鳩」は/...dʒ(ə)n/
religion「宗教」も/...dʒ(ə)n/
region「地域」も/...dʒ(ə)n/
occasionは/...ʒ(ə)n/
conclusionは/...ʒ(ə)n/
です。もしかしたら“-gion・-geon”は/...dʒ(ə)n/，“-sion”は/...ʒ(ə)n/で，綴り（gかsか）で判別できるのかもしれませんね。もっとも，英語は綴り字と発音の関係が当てにならない珍しい言語なので，少しでも気になったら辞書を見るようにしましょう。
なお，「ブリヂストン」はbridge /brɪdʒ/ の /dʒ/ をちゃんと「チ」の有声音化の「ヂ」と表記していて，発音に対する配慮があったと思います。
