/dʒ/ は /tʃ/ の有声音化（濁音化）
/ʒ/ は /ʃ/ の有声音化（濁音化）
です。実践してみましょう。
churchの「チ」/tʃ/ を静かに出してみて下さい。ささやくような「チ」です。そこから声を出して「濁らせて」いって下さい。「チッチッチッチッ……ヂー」となる音が /dʒ/ です。「じめん」「じっと」とかいうときの「じ」が近いと思います。
次に，she や shadow の「シ」/ʃ/ を静かに出してみて下さい。子どもに「シーッ」っていう時の「シ」が近いと思います。そこから声を出して「濁らせて」いって下さい。「シーッシーッ……ジ（ュ）ー」となる音が /ʒ/ です。フランス語の「ジュテーム」みたいな柔らかい感じの「ジ（ュ）」です。
自分でやってみると，柔らかいの /ʒ/ ときは舌が口の中でどこにも触れずに浮いており，/dʒ/ の時は舌が上がって口の中の天井に触れるか接近すると思います。というより /tʃ/ と言おうとしたら舌は上がりますよね。それを濁らせるわけです。
次に，どういう場合にどちらになるかですが，英語では語頭では /dʒ/ が基本です。例外に genre /ʒɑ́(ː)nrə/ がありますが，フランス語からの外来語です。
外来語を除けば，本当に語頭では /dʒ/ が多いのでしょうか？ 幾つか見てみましょう。
July /dʒuláɪ/
judge /dʒʌdʒ/
giant /dʒá(ɪ)ənt/
John /（米）dʒɑ(ː)n（英）dʒɔn/
語頭では /dʒ/ ですね。gender でも，Gemini「双子座」でも，junk「ガラクタ；ヤク」でも，何でも引いてみて下さい。外来語を除き語頭は /dʒ/ のはずです。
これに対し語頭以外では難しいですね。measure は/mé(ɪ)ʒər/ ですから /ʒ/ です。しかし major は /méɪdʒər/ だから /dʒ/ です！ 上の judge /dʒʌdʒ/ は /dʒ/ ですね。bridge も /dʒ/ です。もしかしたら “-dge” は /dʒ/ 一択かもしれませんね。
英語によく見られる「……ジョン」は，
pigeon「鳩」は /...dʒ(ə)n/
religion「宗教」も /...dʒ(ə)n/
region「地域」も /...dʒ(ə)n/
occasionは /...ʒ(ə)n/
conclusionは /...ʒ(ə)n/
です。もしかしたら “-gion・-geon” は /...dʒ(ə)n/，“-sion” は /...ʒ(ə)n/ で，綴り（g か s か）で判別できるのかもしれませんね。measure も s だから /ʒ/，major は j だから /dʒ/ なのかもしれません。もっとも，英語は綴り字と発音の関係が当てにならない珍しい言語なので，少しでも気になったら辞書を見るようにしましょう。
なお「ブリヂストン」は bridge /brɪdʒ/ の /dʒ/ をちゃんと「チ」の有声音化の「ヂ」と表記していて，発音に対する配慮があったと思います。
↓「ビッグブリッヂの死闘」も，何となく「ヂ」にしたわけではない
